26 | 0:00:00 Starten 0:00:04 Kapitel 21: Relationen 0:00:59 Antisymmetrische Relationen 0:03:57 Halbordnungen 0:05:52 eine Halbordnung auf Wörtern - darauf bauen wir später noch auf 0:07:28 Wenn man weiß, dass es eine Halbordnung ist, enthält der gesamte Graph Redundantes 0:08:51 Wenn man weiß, dass es eine Halbordnung ist, genügt das Hassediagramm 0:10:31 Das Hassediagramm enthält <<alles Wesentliche>> 0:11:32 Minimale und maximale Elemente 0:12:56 Beispiele minimaler und maximaler Elemente 0:13:22 Kleinste und größte Elemente 0:14:14 Beispiele kleinster und größter Elemente 0:15:22 Das kleinste und das größte Element sind eindeutig 0:16:02 Untere und obere Schranken von T - unter Umständen auch außerhalb von T 0:16:52 Untere und obere Schranken: Beispiele 0:17:27 Untere und obere Schranken müssen nicht existieren 0:18:43 Supremum und Infimum 0:19:45 Supremum und Infimum: Beispiele 0:21:47 Aufsteigende Ketten 0:23:08 Vollständige Halbordnungen 0:24:34 Vollständige Halbordnungen: weitere (Nicht-)Beispiele 0:27:09 Monotone Abbildungen 0:28:20 Stetige Abbildungen 0:29:14 Stetige Abbildungen: Beispiel 1 0:31:15 Stetige Abbildungen: Beispiel 2 0:32:10 Fixpunktsatz 0:33:58 Fixpunktsatz: Beweis 0:37:13 Was ist wichtig 0:38:25 Totale Ordnung - keine unvergleichbaren Elemente 0:40:27 Totale Ordnungen auf A* 0:42:16 Lexikographische Ordnung (Wörterbuch) 0:45:37 Lexikographische Ordnung <<erster Art>> - die im Wörterbuch 0:46:07 Lexikographische Ordnung 0:48:12 Lexikographische Ordnung <<zweiter Art>> 0:49:31 Die lexikographischen Ordnungen sind total 0:51:00 Was ist wichtig (2) 0:51:42 Kapital 22: MIMA-X 0:51:55 MIMA-X - eine Erweiterung der MIMA 0:53:20 Erinnerung: die Ackermann-Funktion A 0:54:00 Ackermann-Funktion Beispielberechnung für A(2,2) 0:54:18 Ackermann-Funktion A(2,2) kompakt notiert 0:56:27 Stapel oder Keller - Zugriff nur auf das oberste Element 0:58:04 Stapel - eine mögliche ""Implementierung"" 0:58:27 Stapel - bequeme Verallgemeinerung 0:58:54 Berechnung der Ackermann-Funktion mit einem Stapel 1:00:25 Jede k-stellige Operation auf V ist auf Stapel mit mindestens k Einträgen übertragbar 1:02:01 Stapel - Implementierung in einem Rechner 1:03:36 Mimax- drei zusätzliche Register für Adressen 1:05:53 Register RA speichert eine Rückkehradresse 1:06:42 CALL und RET - Wiederverwendung von Codestücken durch primitiven Unterprogrammaufruf 1:08:12 SP und FP 1:08:59 Speicherzugriffe mittels SP 1:09:49 Veränderungen des SP-Registers 1:10:34 Realisierung von push, top und pop 1:11:30 push und pop von RA - für ineinander geschachtelte CALL 1:13:09 Wir halten fest

27 | 0:00:00 Starten 0:00:04 Aufgabe 6.1 0:04:44 Aufgabe 6.2 0:11:12 Aufgabe 6.3 0:16:19 Aufgabe 6.4 0:22:26 Aufgabe 7.1 0:28:13 Aufgabe 7.2 0:36:24 Aufgabe 7.3 0:39:42 Aufgabe 7.4

25 | 0:00:00 Starten 0:00:04 Kapitel 20: Turingmaschinen 0:00:25 Wo sind wir? 0:01:45 Codierungen von Turingmaschinen 0:04:54 Beispielcodierung 0:09:44 Eigenschaften dieser und ähnlicher Codierungen 0:11:50 Das Halteproblem ist unentscheidbar 0:18:37 Diagonalisierung 0:24:07 Das Halteproblem 0:24:22 Beweis der Unentscheidbarkeit des Halteproblems 0:28:37 Weitere unentscheidbare Probleme 0:36:10 Erinnerung: BB3 0:37:03 Bibermaschinen 0:38:26 Busy-Beaver-Funktion 0:42:51 Was ist wichtig 0:43:53 Steam-Powered Turing Machine 0:47:48 Zusammenfassung 0:51:51 Kapitel 21: Relationen 0:52:28 Überblick 0:52:51 Äquivalenzrelationen 0:53:41 Identität 0:54:18 Kongruenz ganzer Zahlen modulo n 0:55:12 Beispiel: asymptotisch gleiches Wachstum 0:55:24 Urbilder von Funktionswerten 0:57:50 Bild einer Äquivalenzrelation 0:59:27 Äquivalenzklassen und Faktormengen 1:00:40 Beispiel: Äquivalenzklassen und Kogruenz modulo 2 1:02:21 Was ist wichtig 1:02:49 Äquivalenzrelationen auf Mengen mit ""Struktur"" 1:03:27 Verträglichkeit von Äquivalenzrelationen mit Abbildungen 1:05:49 Kongruenzrelation 1:06:28 Eine Operation für Äquivalenzklassen modulo n? 1:08:20 Verträglichkeit erlaubt die Übertragung einer Abbildung auf der Faktormenge 1:09:14 eine Operation für Äquivalenzklassen modulo n? 1:10:10 Was ist wichtig 1:10:54 Wo sind wir? 1:11:02 Motivation 1:13:02 Äquivalenzrelationen von Nerode einer Sprache 1:14:30 Beispiel 1:18:35 Die Nerode-Relation is immer eine Äquivalenzrelationen 1:19:09 Verträglichkeit: Beisoiel Nerode-Äquivalenzen 1:20:44 Eine Abbildung für Nerode-Äquivalenzklassen 1:21:22 Nerode-Äquivalenzen: Ausblick

24 | 0:00:00 Starten 0:00:59 Algorithmusbegriss informell 0:03:47 Erinnerung: partielle Funktion von A nach B 0:05:39 Turingmaschinen: Ursprung 0:08:33 Eine Turingmaschine im Bild 0:13:48 Turingmaschine formalisiert 0:15:28 Turingmaschine: graphische Darstellung 0:19:23 Turingmaschine: tabellarische Darstellung 0:20:26 Beispielberechnung 0:23:01 Turingmaschine: Konfigurationen 0:25:48 Turingmaschine: "" überschaubare"" Bandbeschriftungen 0:27:48 Ein Schritt einer Turingmaschine 0:30:31 Längere Beispielberechnung von BB3 0:33:13 Berechnungen und Endkonfigurationen 0:36:18 Rechnen bir zur Endkonfiguration 0:37:14 zwei Arten von Turingmaschinen 0:38:15 Eingaben und Anfangskonfigurationen 0:40:53 Ergebnisse von Turingmaschinenberechnungen 0:44:19 Beispiel: Palindromerkennung 0:58:27 Entscheidbare und aufzählbare Sprachen 1:01:36 Was ist wichtig 1:06:22 Berechungskomplexität 1:07:59 Zeitkomplexität - der Rechenzeitbedarf einer TM 1:12:43 Zeitkomplexität der TM für Palindromerkennung 1:14:39 Platzkomplexität oder Raumkomplexität einer TM 1:15:54 Raumkomplexität der TM für Palindromerkennung 1:17:18 Zeitkomplexität versus Raumkomplexität 1:20:03 Eine Komplexitätsklasse ist eine Menge von Problemen 1:22:29 P und PSPACE - zwei wichtige Komplexitätsklassen 1:25:02 Beziehung zwischen P und PSPACE - unklar 1:27:55 Was ist wichtig

23 | 0:00:00 Starten 0:00:05 Beispiel einer nicht erkennbaren Sprache 0:03:01 Beispiel einer nicht erkennbaren Sprache (2) 0:06:44 Beispiel einer nicht erkennbaren Sprache (3) 0:12:49 Was ist wichtig 0:14:26 Zusammenfassung 0:15:48 Was können endliche Akzeptoren 0:16:20 Überblick 0:18:46 Der Begriff regulärer Ausdruck hat heute verschiedene Bedeutungen 0:19:49 Definition regulärer Ausdrücke (1) 0:22:58 Beispiele 0:23:44 Klammereinsparungsregeln 0:25:01 Beispiele für Klammereinsparungsregeln 0:26:05 Nichtbeispiele 0:27:31 Definition der Syntax regulärer Ausdrücke 0:29:03 Ableitungsbaum eines regulären Ausdrucks 0:29:44 Durch R beschriebene formale Sprache <R> 0:30:55 Beispiele für <R> 0:32:44 Bestimmung von <R> entlang des Ableitungsbaums von R 0:34:08 Wie ist das denn eigentlich? 0:35:24 Äquivalenz regulärer Ausdrücke 0:37:40 Weitere Beispiele für <R> 0:40:26 RFC 5322: Internet Message Format 0:43:01 RFC 5322, Abschnitt 3.3: Date and Time Specification, fast wörtlich: 0:45:39 Datums- und Zeitangaben in Emails (2) 0:46:28 Datums- und Zeitangaben in Emails (3) 0:48:07 Charakterisierungen regulärer Sprachen 0:50:46 Zum Beweis des Satzes 0:53:39 Was ist wichtig 1:00:13 Rechtslineare Grammatiken: Definition 1:01:58 Rechtslineare Grammatiken: Beispiele 1:04:06 Rechtslineare Grammatiken: Nichtbeispiel 1:04:52 Sprechweisen 1:06:53 Vorteil rechtslinearer Grammatiken 1:07:54 Ziel dieses Abschnittes 1:09:18 Mit Kantorowitsch-Bäumen kann man z.B. reguläre Ausdrücke repräsentieren 1:10:53 Regex-Bäume - etwas genauer 1:12:17 Vollständige Induktion über die Baumhöhe 1:13:33 Vollständige Induktion über die Baumhöhe - ein Problem 1:15:08 Erinnerung: Verallgemeinerung vollständiger Induktion 1:15:49 Induktion über die Höhe der Regex-Bäume 1:17:49 Skizze des Induktionsschritts (1) 1:18:45 Skizze des Induktionsschritts (2) 1:21:07 Strukturelle Induktion 1:22:25 Zusammenfassung

22 | 0:00:00 Starten 0:00:04 Einheit 17: Quantitative Aspekte von Algorithmen 0:01:45 Rechenzeiten 0:13:35 Was ist wichtig 0:14:07 Zusammenfassung 0:14:55 Kapitel 18: Endliche Automaten 0:15:46 Ein primitiver Getränkeautomat 0:16:47 Getränkeautomat: Zustände 0:19:27 Getränkeautomat: Eingaben 0:21:18 Getränkeautomat: Zustandsübergänge 0:29:52 Getränkeautomat: Aufgaben 0:35:07 Maely-Automaten 0:37:33 Verallgemeinerte Zustandsübergangsfunktionen 0:45:08 Verallgemeinerte Ausgabenfunktion 0:49:09 Moore-Automaten 0:50:47 Moore-Automat: Beispiel aus tikz-Dokumentation 0:52:32 Verallgemeinerte Zustandsübergangsfunktionen 0:53:20 Verallgemeinerte Ausgabenfunktionen g* und g** 0:56:20 Endliche Akzeptoren - ein wichtiger Sonderfall von Moore-Automaten 0:58:29 Endlicher Akzeptor: Beispiel 0:59:41 Akzeptierte und abgelehnte Wörter 1:01:18 Erkannte formale Sprache 1:04:06 Beispiel 2 einer erkennbaren Sprache 1:11:14 Beispiel 3 einer erkennbaren Sprache 1:15:32 Beispiel 3 - Entwicklung einer Lösung 1:18:42 Beispiel einer nicht erkennbaren Sprache

21 | 0:00:00 Starten 0:00:05 Aufgabe 5.1 0:06:10 Aufgabe 5.2 0:10:56 Aufgabe 5.3 0:16:29 Aufgabe 5.5 0:21:42 Aufgabe 5.4 0:24:40 Aufgabe 5.6 0:31:26 Aufgabe 5.7 0:32:52 Catalan-Zahl 0:33:38 Eigenschaften 0:41:01 Aufgabe 5.8 0:49:49 Aufgabe 5.1 0:55:42 Aufgabe 5.7

15 | 0:00:00 Starten 0:01:12 Aufgabe 3.6 0:23:38 Aufgabe 3.5 0:45:35 Aufgabe 3.3 1:14:43 Aufgabe 3.2 - Algorithmen informell, Grundlagen des Nachweises ihrer Korrektheit, Berechnungskomplexität, 'schwere' Probleme, O-Notation, Mastertheorem - Alphabete, Wörter, formale Sprachen, endliche Akzeptoren, kontextfreie Grammatiken - induktive/rekursive Definitionen, vollständige und strukturelle Induktion, Hüllenbildung - Relationen und Funktionen - Graphen - Syntax und Semantik für Aussagenlogik Weiterführende Literatur - Goos: Vorlesungen über Informatik, Band 1, Springer, 2005 - Abeck: Kursbuch Informatik I, Universitätsverlag Karlsruhe, 2005 Ziel: Der/die Studierende soll - grundlegende Definitionsmethoden erlernen und in die Lage versetzt werden, entsprechende Definitionen zu lesen und zu verstehen. - den Unterschied zwischen Syntax und Semantik kennen. - die grundlegenden Begriffe aus diskreter Mathematik und Informatik kennen und die Fähigkeit haben, sie im Zusammenhang mit der Beschreibung von Problemen und Beweisen anzuwenden.

20 | 0:00:00 Starten 0:09:28 Warum keine exakten Angaben? 0:11:05 Wie ungenau wollen wir über Funktionen reden? 0:12:15 Zu Notation und Redeweise 0:15:53 Erläuterungen zur Definition von f=g 0:20:14 Beispiel 0:25:02 Nichtbeispiele 0:28:58 Äquivalenzrelation 0:29:18 Relation ist refleixiv und symmetrisch 0:30:57 Relation ist transitiv 0:32:42 Groß 0:33:41 einfache Rechenregel 0:34:39 Obere und untere Schranken 0:38:05 Beispiel 0:45:45 Einfache Beobachtungen 0:46:47 Für die Lektüre leider unverzichtbar 0:48:11 Eine nützliche Rechenregel 0:49:22 Komplexoperationen 0:50:56 Beweis 0:53:45 Weitere Regeln 0:54:39 Was ist wichtig 0:56:15 Multiplikation von Matrizen 1:05:09 Die Idee von Volker Strassen 1:08:26 Aufwandsabschätzung für den Algorithmus von Strassen 1:10:52 Matrizenmultiplikation - geht es noch schneller? 1:12:11 Teile und herrsche - engl. divide and conquer 1:15:48 Mastertheorem 1:23:52 Geschachtelte for-Schleifen

19 | 0:00:00 Starten 0:00:04 Überblick - Einheit 16 0:00:11 Adjazenzmatrix eines gerichteten Graphen 0:00:54 Wegematrix eines Graphen 0:02:44 Matrizenmultiplikation 0:02:56 Algorithmus für Matrizenmultiplikation 0:03:10 Quadrierte Adjazenzmatrix 0:03:33 Matrizenaddition 0:03:59 Berechnung von E* - die naheliegende Idee 0:06:13 Beseitigung der unendlichen Vereinigung 0:10:27 Potenzen der Adjazenzmatrix haben eine Bedeutung 0:11:27 Signum-Funktion 0:13:10 Matrizendarstellung für E^k - sgn(A^k) tut es 0:14:11 Erste Möglichkeit für die Berechnung der Wegematrix 0:15:32 Vereinigung von Relationen 0:17:13 Eine erste Formel für die Wegematrix - es gibt auch noch andere... 0:18:43 Beweis 0:19:33 Einfachster Algorithmus für die Wegematrix 0:22:37 Was ist der ""Aufwand"" eines Algorithmus? 0:26:52 Wieviele elementare Operationen für Matrizenaddition? 0:27:28 Wieviele elementare Operationen für Multiplikation? 0:29:10 Wieviele elementare Operationen für Wegematrix? 0:31:00 Wiederverwendung - auch bei Zwischenergebnissen eine gute Sache 0:34:17 Es geht noch besser - erst mehr denken und dann weniger rechnen 0:45:03 Was ist wichtig 0:47:02 Algorithmus von Warshall 0:59:37 Zum Aufwand des Algorithmus von Warshall 1:02:10 Einheit 17: Quantitative Aspekte von Algorithmen 1:02:53 Überblick - Einheit 17 1:07:18 Zählen arithmetischer Operationen - in Abhängigkeit von der Größe der Objekte 1:09:00 Ressourcen für Rechnungen 1:10:40 ΟΘΩ - zur Notation asymptotischen Wachstums 1:11:31 Insertionsort - Wieviele Vertauschungen sind nötig? 1:15:10 Insertionsort - Laufzeitabschätzung? 1:16:42 Ressourcenverbrauch - wie detailliert? 1:19:09 Was ist wichtig 1:20:50 Warum keine exakten Angaben?

18 | 0:00:00 Starten 0:00:04 Aufgabe 4.1 0:13:31 Aufgabe 4.2 0:30:12 Aufgabe 4.3